Дроби древнего мира
История возникновения аликвотных дробей
Всем хорошо известно, что вначале появились натуральные числа, в области, которых всегда выполнимы два математических действия: сложение и умножение. Но деление выполнимо не всегда. И при возникновении этой проблемы, еще в древности (при решении практических задач: разделение участка на несколько частей, деление добычи и т. д.) привело к появлению дробных чисел. Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.
В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).
Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби. Египтяне ставили иероглиф над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию.
В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).
Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби. Египтяне ставили иероглиф над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию.
Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того, чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать, чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат». Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминается понятие «египетская дробь» - это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и древняя табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом и включает в себя таблицу египетских дробей, а также 84 математические задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей. |
Одним из ярких примеров использования в Древнем Египте аликвотных дробей является глаз Хора – единица измерения ёмкостей и объёмов, которая представляла собой дробь 63/64 . Согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на 63/64 . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом: 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64
.
.
Аликвотные дроби в других странах
Египетские дроби получили распространение и в других странах. О них упоминается в литературе Древней Греции. А впоследствии математиками всего мира, применяли в решении задач аликвотные дроби. Хотя к египетским дробям предъявляли ряд замечаний. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской позиционной системой исчисления.
Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci». Он выполнял вычисления, используя десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включая смешанные дроби и запись в виде сумм дробей, где часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.
Аликвотные величины в настоящее время используются не только в математике. В музыке есть понятие аликвотных струн. Аликвотные или резонансные струны – это дополнительные струны, не используемые непосредственно исполнителем, а самовозбуждающиеся от колебания игровых струн. Аликвотные струны служат для обогащения тембра и усиления звучания. В физике, химии и фармацевтике используется понятие аликвотная доля или аликвота- это точно известная часть раствора. Рассмотрим древние и современные задачи, в решении которых используются аликвотные дроби. Египетский жрец и писарь Ахмес считается первым математиком. Решим задачу Ахмеса: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Решение: Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так: 1/2+1/4+1/8=7/8 . Значит, каждому человеку нужно дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов. |
Примеры разложения дробей
Вавилонская система счисления Вавилонскую систему – можно охарактеризовать, как позиционное счисление по основанию шестьдесят. Здесь стоит разобрать два слова – «позиционное» и «основание». Основание – его еще можно охарактеризовать такими словами, как «основа» или «базис». Является количеством знаков, которое использовалось для отображения величин. Так древние Вавилоняне использовали 60 различных знаков (шестидесятеричное отображение). Их Вы можете увидеть на картинке ниже. Что касается слова «позиционная», то тут все тоже очень просто. Этот термин говорит о том, что позиция знака (цифры) в числе влияет на его величину. Для примера можно десятичный формат записи, который мы все используем. Так в величинах 5, 50 и 500 цифра пять имеет различный «вес» – в одном случае она обозначает единицы, во втором десятки, ну а в третьем сотни. Что касается записи, то и она не должна вызывать никаких сложностей. Из изображения выше Вы можете заметить, что для написания знака используются клинышки – одни из них направлены влево, а другие вниз. Именно поэтому этот алфавит называется клинописью. Так клинышки, которые смотрят влево — отображают десятки, а те, что вниз – единицы. |
Сделаем небольшие выводы: Происхождение этой системы неясно. По одной гипотезе, она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5 × 12, где 5 — число пальцев на руке). Вавилонское государство также унаследовало шестидесятеричную систему и передало её, вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам Средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Эти дроби использовались для записи астрономических координат — углов, и эта традиция сохранилась по сей день. В одном градусе 60 минут и в одной минуте 60 секунд. Возможно, эта система взята не от человека, а от Солнца. По представлениям древних астрономов год состоял из 360=60×6 дней, то есть за одни сутки Солнце сдвигалось относительно звезд на 1/360 всего годового пути, а именно на 1 градус. Число 60 лежит и в основе более мелких угловых единиц: минут и секунд. Представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд: величина «d дней, h часов, m минут, s секунд» соответствует значению d×24×60×60+h×60×60+m×60+s секунд |
