Numeri fracti по-русски
«Несть её дивно, что в целых,
а то похвально, что в долях»
(из славянской рукописи XVIвека)
1. Как исторически выстраивалась система древнерусских дробей?
Какие дроби являлись основными в этой системе?
Когда и в связи с чем произошел переход к цифирным дробям?
Какие дроби являлись основными в этой системе?
Когда и в связи с чем произошел переход к цифирным дробям?
Дроби в древней Руси
Первым русским математиком, считается Новгородский монах Кирик, он занимался вопросами хронологии и календаря. В своей рукописи, «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.) (перевод: «Наставление, как человеку познать счисление лет») применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и прочие доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». В русских рукописных книгах XVII века дроби зачастую называли долями, затем "ломаными числами".Различные рукописи дают нам возможность узнать, как же называли дроби на Руси. В названии некоторых дробей используется приставка "пол".Появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два. Но не следует путать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.Из старых рукописей до нас дошли следующие названия дробей в Древней Руси:
1/2- половина, полтина
1/3 -треть
1/4- четь
1/8 - полчеть
1/12-пол-полтреть
1/16- пол-полчеть
1/24-пол-пол-полтреть (малая треть)
1/32- пол-пол-полчеть (малая четь)
1/5- пятина
1/7- седьмина
1/10- десятина
Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну стали проникать десятичная позиционная система счисления. Она вытеснила славянскую нумерацию при Петре I
В первых учебниках математики дроби называли долями, чуть позже «ломаными числами». В русском языке, слово дробь появилось от глагола дробить- разбивать, ломать на части. При записи дроби использовалась горизонтальная черта, так и сейчас мы обозначаем обыкновенные дроби.
2.Каковы особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике? Приведите свои примеры именования современных дробей в соответствии с древнерусскими правилами.
Интересны такие особенности:
· четвертая часть называлась четью;
· 1/6 часть именовалась шестухой,
· 1/8- осьмухой; 1/16- полуосьмаком;
· доли со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, ;
· доли со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например, 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв.
· Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним;
· часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания: например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол- трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
· Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы);
· Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.
· Для целых чисел с дробью (меньше половины) использовались следующие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
При записи расчетов больших цифр используемая система записи чисел выглядела очень громоздко и едва ли способствовала скорому расцвету отечественной
математической школы. Алфавитная нумерация была аддитивной, десятичной непозиционной.
· четвертая часть называлась четью;
· 1/6 часть именовалась шестухой,
· 1/8- осьмухой; 1/16- полуосьмаком;
· доли со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, ;
· доли со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например, 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв.
· Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним;
· часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания: например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол- трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
· Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы);
· Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.
· Для целых чисел с дробью (меньше половины) использовались следующие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
При записи расчетов больших цифр используемая система записи чисел выглядела очень громоздко и едва ли способствовала скорому расцвету отечественной
математической школы. Алфавитная нумерация была аддитивной, десятичной непозиционной.
3.Каковы исторические и экономические причины возникновения сошной арифметики – древнерусского учения о дробях. Каковы ее особенности? Какие инструменты и приемы сошной арифметики использовались в XVI-XVII вв.?
Сошная арифметика
С XVI века в России большой популярностью пользовался дощаный счет- вычисления с помощью прибора, который напоминал русские счеты. С помощью данного изобретения можно было быстро и легко производить быстрые арифметические действия. Дощатый счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, землемеров, монастырских экономов. В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части. Налог взимался в зависимости от количества, качества и даже социального положения владельца земли, которую переводили в условные единицы - сохи. Этим занимались особые чиновники, для которых составлено специальное руководство “Книга сошному письму”. Оно предусматривало измерение земельных площадей, в том числе застроенных дворами в городах, перевод полученных данных в условные податные единицы – сохи и расчет на этой основе налогов. Соха измерялась в четях (около 0,5 десятины). В большую соху включалось для светских феодалов от 800 до 1200 четвертей земли, для церквей и монастырей от 600 до 800, для дворцовых и «черных» земель от 500 до 700 в зависимости от качества земли. С введением новой единицы поземельного налогообложения – «живущей четверти» – налоги на землю светских феодалов снизились. Кроме того, применялось «одабривание», т.е. приравнивание «средней» и «худой» земли к «доброй» путем увеличения количества «средней» и «худой» земли на соху: писец мог посчитать за 800 четей (1 соху) «доброй» земли 1250 «средней» или 1800 «худой» земли (на каждые 100 четей «средней» земли он имел право накинуть 25 четей такой же земли, на каждые 100 четей «худой» земли – 50 четей такой же), Такой пересчёт уменьшал общее количество сох в данном владении, облегчая налоговое бремя. Соха как единица измерения налога была отменена в 1679 г.Единицей для исчисления прямого обложения к тому времени стал двор.
Дощаный счёт
Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.). Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 и т.п. На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке.Дроби суммировались без приведения к общему знаменателю, например «четь да полтрети, да пол-полчети» (1/4 + 1/6 + 1/16). Иногда операции с дробями производились как с целыми при помощи приравнивания целого (сохи) к определённой сумме денег. Например, при равенстве соха = 48 денежным единицам приведённая выше дробь составит 12 + 8 + 3 = 23 денежные единицы.
Счет на костях
На доске рисовали мелом несколько горизонтальных линий для единиц,десятков, сотен и т.д. На каждую линию клали до 4 костей. Если кость помещалась между линиями, то она означала 5 единиц разряда, который откладывается на более близкой к вычислителю линии. Вертикальные линии разделяли доску на несколько столбцов, к которые клали кости, соответствующие компонентам действий.
Практическая значимость рукописи XVII в.
"Роспись сошному письму, как которая
кость, с которой костью кладется"
У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была сама жизнь, практика. Все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках, которые у русских назывались бирками. Такой способ записи долговых обязательств или налогов применялся малограмотными людьми разных стран.В летописях сохранились сведения о школах, которые учреждались повелением князей Владимира Святославовича (1015), Ярослава Мудрого (978-1054). В 16 веке, при Иване Грозном, на Руси появляются первые рукописные учебники по математике, а немного позже - печатные книги о применении математики для разных практических нужд. В 1134 году новгородский монах Кирик написал сочинение «…о том, как узнать человеку числа всех лет». Это самый древний дошедший до нас письменный памятник славянской математики.
В то время, как в странах Западной Европы пользовались римской нумерацией, в Древней Руси, находившейся подобно другим славянским странам в тесном культурном общении с Византией, получила распространение алфавитная нумерация, сходная с греческой.
В древности на Руси писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которыми ставился особый значок- титло (~). Способ записи цифр буквами со специальными значками – «титлами»- славяне взяли от греков.
Правила
